Родилась в Москве. В раннем возрасте родители Богачинской переехали в Одессу. Там Инна Богачинская закончила Одесское музыкальное училище, а также факультет романо-германской филологии Одесского национального университета им. И. И. Мечникова. Журналистская деятельность началась в газете «Вечерняя Одесса». Первые стихотворения были напечатаны в журнале «Огонек». Ее статьи, очерки и поэтические подборки появлялись регулярно как в республиканской, так и во всесоюзной прессе. Одним из первых признал Богачинскую как поэта Андрей Вознесенский, дружба с которым длилась до последних дней. Поэт Андрей Вознесенский высоко оценивал поэзию Инны Богачинской и ставил ее в один ряд со «значимыми поэтическими фигурами русского зарубежья», такими как Ю.Кублановский, А.Цветков, В. Бетаки. «Как все яркие дарования, она противостоит волне, то есть если мода на неоклассицизм, если мода на античные символы, на мраморную холодность в поэзии, то она остается всегда собой, — пишет Андрей Вознесенский в предисловии к поэтическому сборнику Богачинской „Репортаж из параллельного мира“.- Я бы сказал, что это московская школа поэзии, которая идет от Цветаевой, от красок, буйства, от энергии. И противостоит глянцу, холодности».

В 1991 г. Книга года Энциклопедия Британника назвала Богачинскую одним из наиболее состоявшихся поэтов русского зарубежья. В том же году Инна Богачинская стала лауреатом Международного фестиваля русского искусства в Чикаго. Она также была удостоена звания Поэта года в Нью-Йорке.

Творчество Инны Богачинской включено в программу преподавания современной литературы в Одесском национальном университете им. И. И. Мечникова и в Северо-Осетинском государственном университете имени К. Л. Хетагурова (г. Владикавказ). Изучению ее поэзии посвящены четыре дипломных, а также несколько курсовых работ, множество статей и докладов, представленных на научных конференциях. Детальный анализ творчества Инны Богачинской (55 страниц) сделал литературовед Виктор Финкель в своей книге «Поэты рубежа», вышедшей в Филадельфии в 1999 г. Статья о творчестве Богачинской включена и в «Словарь поэтов Русского Зарубежья», вышедший в Санкт-Петербурге в 1999 году. Составители словаря отмечают в поэзии Богачинской сочетание и «цветаевской невоздержанности чувств», и «северянинское упоение собою и жизнью вообще». «Ее язык изобилует словами из лексикона научно-технической интеллигенции и неологизмами, ее темы смелы, откровенны и драматичны». Вместе с тем, отмечают «страстную публицистичность, ощущение трагического неблагополучия времени в стихах Богачинской».

Статья о её творчестве появилась также в изданном в США на английском языке «Словаре русских писателей-женщин» (англ. Dictionary of Russian Women Writers, Westport, Connecticut-London, 1999, Editor — professor Marina Ledkovsky).

Инна Богачинская — автор пяти книг поэзии и прозы: «СТИХиЯ» (1983 г.), «Подтексты» (1990г.), «В четвертом измерении» (1994 г.), «Перевод с космического» (1999 г.), «Репортаж из параллельного мира» (2007 г.). Член Южнорусского Союза Писателей.

​

В 2014 г. Инна получила в Москве медаль «За заслуги в культуре и искусстве» от Кирилло-Мефодиевской Академии Cлавянского Просвещения. Ей также было присвоено звание Академика Академии Народного Искусства России.  И ещё Инна принята в Союз художников Народного Искусства.